Regla y compás

1. Trace una recta $\overline{y}$.
2. Sobre $\overline{y}$ marque los puntos $A$ y $B$, para determinar el $\overline{AB}$.
3. Con centro en $A$, trace una circunferencia de radio superior a la mitad de $\overline{AB}$.
4. Con centro en $B$, trace otra circunferencia de igual radio que la anterior.
5. Llame, con $C$ y $D$, a los puntos de intersección de las dos circunferencias.
6. Trace la recta $\overleftrightarrow{CD}$, la cual es la mediatriz del segmento $\overline{AB}$.

Todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos del segmento.

1. Dado un $\angle Y$, trace un arco de circunferencia, con centro en el vértice del ángulo y llame, con $X$ y $Z$, a los puntos donde el arco de circunferencia interseca a los lados del ángulo.
2. Trace un rayo $\overrightarrow{m}$, haga centro en $A$ y trace otro arco de circunferencia, con el mismo radio del arco anterior.
3. Llame, con $B$, al punto donde el arco de circunferencia interseca al rayo $\overrightarrow{m}$.
4. Marque con el compás la medida de $\overline{XZ}$.
5. Con centro en $B$, trace un arco de circunferencia de radio igual a la medida de $\overline{XZ}$, llame con $C$ al punto de intersección de los dos arcos.
6. Trace el rayo $\overline{AC}$ para formar el $\angle BAC$. Observe que $\angle BAC\cong \angle XYZ$.

Por el postulado de construcción de ángulos y dado un semiplano y un rayo, en este caso $\overline{m}$, garantiza que para cada número real entre $0^{\circ}$ y $180^{\circ}$  hay un rayo $\overrightarrow{AC}$ con $C$, que pertenece a ese mismo semiplano tal que $m\angle BAC=m\angle XYZ$, $\therefore\angle BAC\cong\angle XYZ$.

1. Sea la recta $\overleftrightarrow{AB}$ y un punto $P$ exterior a ella.
2. Trace por $P$ una recta $\overleftrightarrow{PQ}$, donde $Q$ es el punto de intersección de dicha recta con la recta $\overline{AB}$.
3. Observe que se tiene el $\angle PQA$, construya el $\angle SPQ$ (ver "Ángulo congruente, a un ángulo dado").
4. Los $\angle PQA$ y $\angle SPQ$ son alternos internos congruentes, por lo tanto determinan rectas paralelas.
5. Trace la recta que pasa por los puntos $P$ y $S$, tal que $\overleftrightarrow{PS}||\overleftrightarrow{AB}$.

Dos rectas son paralelas si son coplanares y no tienen ningún punto común. Euclides afirmó que por cualquier punto exterior a una recta, solamente puede trazarse una única recta paralela a ella. Lo anterior se conoce como el V postulado de Euclides. Precisamente, el probar la unicidad de dicha recta es lo que dió origen a las geometrías no euclideanas.

1. Sea el $\angle A$, que se desea bisecar.
2. Con centro en $A$, trace un arco de circunferencia de radio $r$, que interseque a los lados del ángulo, en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
3. Trace el segmento $\overline{PQ}$ y determine su punto medio $R$ (ver construcción de la "Mediatriz, dado un segmento").
4. Trace el rayo $\overrightarrow{AR}$, este rayo es la bisectriz del $\angle A$.

Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. Por el postulado de la adición de ángulos, se cumple que $m\angle PAQ=m\angle PAR+m\angle QAR$.

1. Trace el segmento $\overline{AB}$.
2. Trace la mediatriz del segmento $\overline{AB}$ (ver "Mediatriz, dado un segmento").
3. Sea $H$, el punto de intersecci\'{o}n de la mediatriz con $\overline{AB}$.
4. Con el compás traslade la medida del segmento $\overline{GH}$, de longitud igual a la altura dada.
5. Trace los segmentos $\overline{AG}$ y $\overline{BG}$.
6. Como el punto $G$ pertenece a la mediatriz del segmento $\overline{AB}$, se garantiza que $\overline{AG}\cong \overline{BG}$, $\therefore\triangle AGB$ es isósceles.

En todo triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes y todas las rectas notables, trazadas desde el vértice opuesto al lado desigual, coinciden.

1. Trace el segmento $\overline{AB}$, de medida $h$ correspondiente a la base del triángulo equilátero.
2. Con centro en $A$, trace una circunferencia que tenga por radio la medida de $\overline{AB}$.
3. Con centro en $B$, trace otra circunferencia con el mismo radio del arco anterior.
4. Llame, con $C$, a un punto de intersección de las dos circunferencias.
5. Trace los segmentos $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$, respectivamente.
6. El $\triangle ABC$ es equilátero.

En el triángulo equilátero todas las rectas notables coinciden. El área de un triángulo equilátero viene dada por la fórmula $A=\frac{L^{2}\sqrt{3}}{4}$, donde $L$ es la medida del lado del trángulo.

1. Trace el segmento $\overline{AB}$, correspondiente a uno de los lados del cuadrado.
2. Trace una perpendicular que pase por el punto $A$ y otra por el punto $B$ (ver "Mediatriz, dado un segmento" y "Paralela, a una recta dada").
3. Trace una circunferencia con centro en $A$ y que tenga por radio la medida de $\overline{AB}$.
4. Trace una circunferencia con centro en $B$ y que tenga por radio la medida de $\overline{AB}$.
5. Llame, con $P$ y $Q$, a los puntos de intersección de cada circunferencia con las perpendiculares trazadas.
6. Trace el segmento $\overline{PQ}$.
7. El cuadrilátero $\square APQB$ es un cuadrado.

El cuadrado es un cuadrilátero equiángulo.  Sus diagonales se bisecan perpendicularmente y determinan cuatro triángulos congruentes.

1. Trace el segmento $\overline{AB}$.
2. Trace una perpendicular en cada extremo de $\overline{AB}$ (ver "Cuadrado, dado un lado").
3. Trace una circunferencia con centro en $A$ y que tenga por radio la medida de $\overline{AB}$.
4. Trace una circunferencia con centro en $B$ y que tenga por radio la medida de $\overline{AB}$.
5. Llame, con $P$ y $Q$, a los puntos de intersección de cada circunferencia, con las perpendiculares trazadas.
6. Trace el segmento $\overline{PQ}$.
7. El cuadrilátero $\square APQB$ es un cuadrado.
8. Trace el punto medio $M$ de $\overline{AB}$ (ver "Mediatriz, dado un segmento").
9. Trace una circunferencia con centro en $M$ y que tenga por radio la medida de $\overline{MQ}$.
10. Prolongue el segmento $\overline{AB}$, de tal forma que interseque a la circunferencia en un punto $C$.
11. Trace una perpendicular que pase por el punto $C$ (ver "Cuadrado, dado un lado").
12. Con el compás, traslade la medida del segmento $\overline{CR}$, de longitud igual a la medida del lado del cuadrado $\square APQB$.
13. Trace el segmento $\overline{PR}$.
14. El cuadrilátero $\square APRC$ es un rectángulo áureo.

Los lados del rectángulo áureo están en una proporción, igual a la razón áurea: $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$, $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1. Trace el segmento $\overline{AB}$, correspondiente a uno de los lados del pentágono.
2. Trace el punto medio $M$ de $\overline{AB}$ (ver "Mediatriz, dado un segmento").
3. Prolongue el segmento $\overline{AB}$.
4. Trace una perpendicular que pase por $M$ y otra que pase por $B$ respectivamente (ver "Cuadrado, dado un lado").
5. Con centro en $B$, trace un arco de circunferencia de radio igual a la medida de $\overline{AB}$, de tal manera que interseque a la perpendicular trazada por $B$ en el punto $R$.
6. Con centro en $M$, trace un arco de circunferencia de radio igual a la medida de $\overline{MR}$, de tal manera que interseque a la prolongación del segmento $\overline{AB}$ en el punto $S$.
7. Con centro en $A$, trace un arco de circunferencia de radio igual a la medida de $\overline{AS}$, de tal manera que interseque a la perpendicular trazada por $M$ en el punto $D$.
8. Con centro en los puntos $A$, $B$ y $D$; trace arcos de circunferencia de radio igual a la medida del segmento $\overline{AB}$.
9. Llame, con los puntos $C$ y $E$, a las intersecciones de los arcos.
10. Trace los segmentos $\overline{AE}$, $\overline{ED}$, $\overline{DC}$ y $\overline{CB}$.
11. El polígono $AEDCB$ es un pentágono regular.

En un pentágono regular, la diagonal y el lado están en la proporción áurea, esto es $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.