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Resolución de problemas

Antes de abordar el tema, es imprescindible definir lo que se va a entender por problema; un problema es una situación a la que se enfrenta un individuo o un grupo, que requiere solución y para la cual no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la respuesta. Un problema debe lograr que el individuo lo acepte; debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas. Además, los intentos iniciales de resolución no dan fruto, las técnicas habituales de abordar la situación no funcionan; lo anterior lleva al individuo a la búsqueda y exploración de nuevos métodos para resolver el problema.

El saber matemático, por parte de una persona, no puede reducirse a identificar las definiciones y propiedades de los conceptos de la disciplina. Debe implicar capacidad de usar el lenguaje y el concepto matemático en la resolución de problemas. Un estudiante no puede atribuir un sentido pleno a los objetos matemáticos a menos que estos se relacionen con la actividad de la cual surgen. Por lo tanto, la actividad realizada con el fin de resolver problemas es una de las bases del aprendizaje significativo de la Matemática. La resolución de problemas no debe considerarse como un nuevo contenido que añadir al currículo matemático, sino como un complemento de la enseñanza tradicional. Tal actividad es uno de los medios esenciales del aprendizaje de la Matemática en la actualidad, además de una fuente de motivación intrínseca para los y las estudiantes.

La aplicación de la resolución de problemas como estrategia didáctica no es nueva; desde hace años, se ha pensado en el uso de los problemas para propiciar el aprendizaje matemático; actualmente, con el gran avance en la tecnología, la idea toma una nueva connotación por las grandes posibilidades que las Tecnologías de la Información y la comunicación (TIC) ofrecen.

En el caso de la metodología de resolución de problemas, el y la docente debe escoger cuidadosamente un problema; debe entender por problema un ejercicio que no se responda en forma inmediata, lo cual no quiere decir que la situación planteada debe requerir un nivel de conocimientos más alto del que posee el estudiantado. Es decir el problema presentado no sea idéntico a algún ejercicio que se haya realizado; por lo tanto, amerita un esfuerzo mayor para ser resuelto. En el recorrido desde el planteamiento original del problema hasta su solución, se presenta la posibilidad de observar y reflexionar en torno a conceptos que el método convencional difícilmente permitiría y, entonces, desarrollar habilidades relacionadas con el razonamiento.

La propuesta de resolución de problemas no es nueva. Pólya, desde 1945, en su libro How to solve it indica cuatro fases, que se consideran esenciales dentro de la metodología de resolución de problemas. Para Pólya, la actividad de resolución de problemas involucra cuatro momentos: comprender el problema en el sentido de poder establecer cuál es la meta, los datos y condiciones iniciales; luego, idear un plan de acción que permita combinar las condiciones iniciales; un tercer momento comprende llevar a cabo el plan ideado en el paso anterior y, por último, lo que Pólya llama “mirar atrás ", que consiste en comprobar el resultado obtenido. Según Pólya, la habilidad para resolver problemas no solo se adquiere resolviendo muchos problemas ni conociendo las distintas fases de resolución, sino también tomando soltura y familiaridad con una gama de técnicas de resolución que él llama heurísticas.

Figura 2. George Pólya (1887-1985)

Lo innovador de los trabajos de Pólya radica no en el establecimiento de fases durante el proceso de resolución de un problema, ya que otros autores tales como Pappus (300AC), Descartes (1596-1650), Leibnitz (1646-1716) y Bolzano (1781-1848) también lo habían tratado de hacer antes, Poyla plantea una serie de preguntas que funcionan como sugerencias para el resolutor. Según Pólya, el estudiante aprende por imitación y práctica con ayuda del profesor y el empleo de estrategias heurísticas. Sin embargo, es importante mencionar que nunca investigó con estudiantes; sus resultados son producto de su experiencia como docente.

Otro detalle interesante es la forma en que expuso su método en su libro How to solve it, utilizando un problema: Determinar la diagonal de un paralelepípedo rectangular dados su longitud, ancho y su altura. Una vez enunciado el problema, da una detallada descripción (utiliza más de 10 páginas para hacerlo) de cada fase con las respectivas preguntas que debe formular el profesorado y la respuesta que se supone que debe de dar el y la estudiante y que sirven de sugerencias para las heurísticas que se deben de utilizar durante la solución del problema. Luego, describe el procedimiento en tres problemas más, pero ya no se extiende tanto. El tercer capítulo de este libro describe un diccionario de heurísticas ordenadas alfabéticamente, como si fuese una serie de herramientas para utilizar cada vez que el estudiante se enfrente a un problema.

En su libro Mathematics and Plausible Reasoning, de 1954, planteó cómo estrategias aplicadas por un matemático profesional pueden ser seguidas para la enseñanza de la asignatura. Y más adelante, en su obra Matematical Discovery la cual se dividió en dos volúmenes entre los años de 1962 y 1965, se presentó un compendio de técnicas para resolver problemas, además de ofrecer una descripción teórica de la metodología de resolución de problemas. En ese mismo libro, Pólya planteó su famoso decálogo para el profesor de Matemática, en el que explicó cuáles debían ser las posturas adecuadas de un docente; entre ellas, se pueden citar la importancia de que el y la docente conozca a la perfección su materia; esto implica tanto contenido como destrezas matemáticas; se entienden como destreza la habilidad para resolver problemas, de construir demostraciones y examinar críticamente soluciones.

Los trabajos de Pólya no tuvieron mucha influencia en su época porque en la décadas de los 40 y 50 se daba énfasis al aprendizaje memorístico por repetición. Sin embargo, su obra ha influido todos los trabajos posteriores referidos a la resolución de problemas.

Más adelante, Allan Schoenfeld en sus libros Problem solving in the mathematics curriculum (1983), Mathematical problem solving (1985) y Cognitive science and mathematics education (1987) explicó el trabajo que desarrolló con investigaciones que permitieron observar a estudiantes durante las sesiones de resolución de problemas. De esta manera, él pudo observar detalles referentes a: cómo se decide qué conocimiento matemático es el adecuado al problema, de qué forma el estudiantado decide utilizar este conocimiento y cuáles relaciones existen entre estas decisiones y la comprensión por parte del estudiante del concepto matemático implicado en el problema.

Schoenfeld sostenía que los trabajos de Pólya eran insuficientes dado que resolver problemas involucra otros factores de carácter socio-afectivos. Para Schoenfeld no era suficiente resolver muchos problemas o conocer muchas estrategias (heurísticas), sino que se debía tener control en el sentido de saber si una determinada herramienta funcionaba para continuar utilizándola o decidir utilizar otro método o conocimiento. Además, planteó que el sistema de creencias y percepciones acerca de la Matemática condicionaban en la habilidad de un estudiante a la hora de enfrentar un problema. En resumen, Schoenfeld planteó que en el proceso de resolución de problemas influyen:

• Los recursos: aquí entran la serie de conocimientos, conceptos y algoritmos necesarios. Pero Schoenfeld va más allá y habla de cómo el estudiante tiene acceso a estos recursos o por qué en algunas ocasiones no puede; incluso, el profesor debe valorar si los recursos del estudiante contienen errores que no le permiten avanzar con el problema.
• Las heurísticas: para Schoenfeld, el problema de las heurísticas es que son demasiado específicas para un determinado problema; es decir, las estrategias para un determinado problema no funcionan para otro.
• El control: en el sentido de que el estudiante sea capaz de saber cuándo puede continuar con una estrategia y cuándo la debe abandonar y cambiar por otra más viable.
• El sistema de creencias: las creencias condicionan la forma en que se enseña y se aprende Matemática. Schoenfeld divide las creencias en tres grupos: creencias de los estudiantes, creencias del profesor y creencias sociales.

(Barrantes, H; 2006, pp. 2-3)

Miguel de Guzmán (1991) desarrolló su propuesta en su libro Para pensar mejor. Planteó la resolución de problemas como un trabajo de investigación; expuso la necesidad de tratar en clases problemas cerrados y los denominados abiertos. Para Guzmán, el proceso de resolver problemas requiere cuatro pasos: en un inicio, la familiarización, dentro de lo que cabe destacar lo que él llama hacer una película, contar el problema con nuestras propias palabras; luego, las estrategias que contemplan la forma de abordar el problema; llevar a cabo la estrategia pensada y, por último, la revisión y consecuencias.

Figura 3. Miguel de Guzmán (1936-2004)

Miguel de Guzmán ha propuesto que cuando se resuelve un problema, antes de iniciar la tarea, el resolutor entra en una serie de bloqueos que afectan directamente la forma en que se enfrenta al problema que debe resolver. Los bloqueos los enlista en cuatro tipos:

1. Bloqueos de tipo inercial: nuestro pensamiento sigue ciertas reglas fijas.
2. Bloqueos afectivos: emociones tales como el miedo y la ansiedad.
3. Bloqueos de tipo cognoscitivos: consisten en la incapacidad para saber cuándo aplicar un proceso o concepto.
4. Bloqueos de tipo cultural y ambiental: corresponde a las ideas presentes en el contexto en el que nos desenvolvemos.

(Blanco, J; 1996. p. 15)

Para Guzmán, los bloqueos deben tomarse como una etapa más de proceso de solución de un problema que permite enriquecer el proceso.

Ejemplo 5. Situación problema planteada para el tema de operaciones con números racionales.

Resolución de problemas y nuevo programa de estudios

En nuestro país existe, toda una problemática alrededor de la educación en Matemática debido al bajo rendimiento que hay en la materia. Parte del problema tiene que ver con las políticas educativas de los últimos años: hay falta de inversión por parte del Estado, programas de estudios no actualizados a la realidad nacional, un sistema de evaluación que valora lo cuantitativo y no lo cualitativo en el aprendizaje de los y las estudiantes, y poca capacitación y motivación para los y las docentes y estudiantes. Lo anterior ha provocado que las lecciones sean de “corte tradicional”, con una excesiva exposición por parte del docente y luego de una larga lista de ejercicios que se supone que el estudiantado debe resolver en forma mecánica. Se genera en ellos muy poco interés y aprendizaje. Unido a lo anterior, los y las estudiantes son bombardeados constantemente, por el medio en que se desenvuelven, con mensajes negativos referidos a la materia. La misma sociedad se ha encargado de promover y divulgar ciertos sentimientos respecto de la Matemática, que contribuyen a que los y las jóvenes adquieran creencias de que no es agradable, es difícil y únicamente los más inteligentes las pueden comprender.

Diversas investigaciones (Alfaro y Barrantes, 2008; Chaves 2007; Meza, Agüero y Calderón, 2010; Meza, Suárez y García, 2009) han mostrado que se presentan problemas de infraestructu­ra, formación de los y las docentes, calidad de los programas de estudio y con las creencias de los y las estudiantes, padres de familia y los mismos docentes a propósito de la disciplina, entre otros factores. La problemática anterior se refleja cada año con los pobres resultados obtenidos por el estudiantado en las pruebas de bachillerato y en las pruebas internacionales en que el país ha venido participando, como PISA y SERCE.

Como respuesta a la situación anterior, el Consejo Superior de Educación aprobó en marzo del 2012 nuevos programas de estudio, los cuales fueron propuestos por el Ministerio de Educación Pública (MEP) y cuyo enfoque principal es la resolución de problemas.

En este currículo se enfatizará el trabajo con problemas asociados a los entornos reales, físicos, sociales y culturales, o que puedan ser imaginados de esa manera. Se asume que usar este tipo de problemas es una poderosa fuente para la construcción de aprendizajes en las Matemáticas. Al colocarse en contextos reales, el planteo y resolución de problemas conlleva directamente a la identificación, uso y construcción de modelos matemáticos.(Programas de Matemáticas, 2012, p. 13)

En el nuevo programa, se enfatiza la importancia de una adecuada mediación pedagógica, basada en la resolución de problemas para el logro de aprendizaje significativo en los y las estudiantes.

El currículo propone la organización de las lecciones en dos etapas: una primera de aprendizaje de conocimientos y en una segunda etapa ocurre la movilización y aplicación de los conocimientos adquiridos en la fase anterior. Esta metodología se desarrollará según la extensión del contenido en una lección o varias.

Para el aprendizaje de conocimientos en la lección, se propone una introducción de los nuevos temas, que tome en cuenta cuatro pasos o momentos centrales:

1. propuesta de un problema,
2. trabajo estudiantil independiente,
3. discusión interactiva y comunicativa, y
4. clausura o cierre.
   (Programas de Matemáticas, 2012, p. 13)

El nuevo currículo propone abordar la resolución de problemas desde dos perspectivas:

1. aprendizaje de los métodos o estrategias para plantear y resolver problemas y
2. aprendizaje de los contenidos matemáticos (conceptos y procedimientos) a través de la resolución de problemas.

(Programas de Matemáticas, 2012, p. 41)

El nuevo programa no se limita únicamente a proponer conocimientos matemáticos: deben complementarse con el desarrollo de mayores capacidades (competencias) por parte de los alumnos para que puedan enfrentarse con éxito a los retos del mundo del que forman parte. “La competencia matemática se interpreta aquí como una capacidad de usar las matemáticas para entender y actuar sobre diversos contextos reales, subraya una relación de esta disciplina con los entornos físicos y socioculturales y también brinda un lugar privilegiado al planteamiento y resolución de problemas” (Programas de Matemáticas, 2012, p. 13)

El cambio curricular que se ha implementado a partir del 2012 es una propuesta arriesgada en un contexto con docentes de matemáticas con poca formación o totalmente desconocedores de la metodología de la resolución de problemas y con grandes vacíos en su formación matemática, y con poca o ninguna capacitación respecto del nuevo currículo. En este momento, es poca la información con la que cuentan los docentes acerca del tema y después de más de un año transcurrido desde su implementación, todavía no está claro el camino que se debe seguir.

Cuadro comparativo

Fases de la resolución de problemas.

Pólya(1)	Schoenfeld(2)	Guzmán(3)
1. Comprender el problema Se reúne información mediante preguntas como: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible satisfacerlas? ¿Son suficientes para determinar la incógnita o no lo son? ¿Son irrelevantes o contradictorias?	1. Análisis a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible. b) Examine casos especiales. c) Trate de simplificar el problema.	1. Familiarizarse con el problema Antes de iniciar, trate de entender. Tómese el tiempo necesario. Actué sin prisas y con tranquilidad. Imagínese los elementos. Juegue con los elementos del problema. Busque información que le pueda ayudar. Enfrente la situación con gusto.
2. Diseñar un plan El sujeto utiliza la experiencia pasada a fin de encontrar un método de solución y se pregunta: ¿Conoce un problema relacionado? ¿Puede replantear el problema? ¿Puede convertir en un problema más simple? ¿Se pueden introducir elementos auxiliares? ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?	2. Exploración Considere problemas esencialmente equivalentes. 1) Reemplace condiciones por otras equivalentes. 2) Recombine los elementos del problema de maneras diferentes. 3) Reformulando el problema b) Considere un problema ligeramente modificado. Escoja submetas (trate de satisfacer parcialmente las condiciones). c) Considere problemas sustancialmente modificados.	2. Buscar estrategias Empezar por lo fácil. Experimentar y buscar regularidades y pautas. Hacer esquemas, figuras y diagramas. Modificar el problema. Buscar semejanzas con otros juegos y problemas. • Suponer el problema resuelto. • Suponer que el problema no está resuelto, ¿adónde nos lleva? • Piensa en técnicas generales: inducción, principio del palomar, proceso diagonal, etc.
3. Ejecución del plan Al ejecutar su plan de la solución, compruebe cada uno de los pasos. ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede usted demostrarlo?	3. Verificación de la solución a) ¿Pasa su solución estas pruebas específicas? 1) ¿Usa todos los datos pertinentes? 2) ¿Está de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables? 3) ¿Soporta pruebas de simetría, análisis dimensional y escala? b) ¿Pasa estas pruebas generales? 1) ¿Puede ser obtenida de manera diferente? 2) ¿Puede ser sustanciada por casos especiales? 3) ¿Puede ser reducida a resultados conocidos?	3. Llevar adelante la estrategia Utilice las ideas de la etapa anterior. Procure no mezclarlas y ejecute de una en una. Trabaje con tenacidad y decisión en cada idea. Trabaje con flexibilidad en las situaciones que se compliquen demasiado. Cuando considere que ha llegado al final, observe a fondo la solución que obtiene.
4. Visión retrospectiva ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Se puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? Puede usted emplear el resultado o el método en algún otro problema?		4. Revisar el proceso y sus consecuencias ¿Cómo se ha obtenido la solución? Si no la ha resuelto, ¿por qué no ha obtenido la solución? Trate de entender las cosas que han marchado y por qué han marchado. Busque un modo más sencillo de resolverlo. Intente trasladar el método seguido a otras situaciones. Reflexione acerca de sus estados de ánimo y su proceso de pensamiento, y extraiga consecuencias para el futuro.

(1) Tomado de: Pólya, G. (1990). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.

(2) Tomado de: Chavarría, J. y Alfaro, C. (2011). Resolución de problemas según Pólya y Schoenfeld. IV CIEMAC.
Barrantes, H. (2008). Resolución de problemas El trabajo de Allan Schoenfeld.Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, (1).

(3) Tomado de: Proyecto ALDA EDUCA. Material de apoyo, elaborado en base al libro Para pensar mejor del autor Miguel de Guzmán (Labor, Barcelona, 1991) para docentes de escuelas beneficiarias 2007.

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Material didáctico producido por la Universidad Estatal a Distancia de Costa Rica. Créditos.