Resolución del problema
Un agricultor tiene un problema en la producción de tomate, ya que una plaga ataca el cultivo. Un grupo de agrónomos y matemáticos determina que la plaga se duplicará aproximadamente entre uno o dos días. El modelo matemático encontrado, para determinar con precisión dicho tiempo, consiste en resolver la ecuación ${e^x} - {x^4} + 1 = 0$ en el intervalo $\left[ {1,2} \right]$ con una precisión de $ \in = {10^{ - 3}}$.
La imagen de la gráfica construida con el software Winplot, explicado detalladamente en el módulo 1 de este multimedia, representa la situación planteada:
Como la plaga se duplicará aproximadamente entre uno o dos días se construye la gráfica de la función pero en el intervalo $\left[ {1,2} \right]$, como se muestra en la siguiente imagen:
Para determinar el número de iteraciones que se requieren para calcular la raíz con la estimación pedida, se tiene que hacer uso de la fórmula ${{b - a} \over {{2^n}}} < \varepsilon $.
${{2 - 1} \over {{2^n}}} < {10^{ - 3}} \Rightarrow {1 \over {{2^n}}} < {10^{ - 3}} \Rightarrow {1 \over {{{10}^{ - 3}}}} < {2^n} \Rightarrow log{10^3} < nlog2 \Rightarrow {3 \over {log2}} < 9.96$, por lo tanto serán necesarias 10 iteraciones para obtener la raíz con un error menor a ${10^{ - 3}}$.
Como la función cumple con las condiciones para aplicar el método de bisección, entonces se tiene que:
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La función $f$ es continua en el intervalo dado.
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Presenta signos opuestos, pues $f\left( 1 \right) = 2.71828$
$f\left( 2 \right) = - 7.6109$, por lo tanto cumple con las condiciones para aplicar el método.
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El punto medio de $\left[ {1,2} \right]$ es: ${{1 + 2} \over 2} = 1.5 = {p_1}$
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$\left( {1.5} \right) = 0.4191$
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Como $f\left( {1.5} \right)f\left( 2 \right) < 0$, entonces la raíz está en $\left[ {1.5,{\rm{ }}2} \right]$, así:
Se continúa con el proceso y se tiene que:
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El punto medio de $\left[ {1.5,{\rm{ }}2} \right]$ es ${{1.5 + 2} \over 2} = 1.75 = {p_2}$
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$f\left( {1.75} \right) = - 2.6243$
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$f\left( {1.5} \right) = 0.4191$
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Como $f\left( {1.5} \right)f\left( {1.75} \right) < 0$, entonces la raíz se encuentra en $\left[ {1.5,{\rm{ }}1.75} \right]$, según se muestra en la imagen:
Se continúa nuevamente con el proceso y se tiene que:
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El punto medio de $\left[ {1.5,{\rm{ }}1.75} \right]$ es:${{1.5 + 1.75} \over 2} = 1.625 = {p_3}$
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$f\left( {1.625} \right) = - 0.8944$
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$f(1.5) = 0.4191$
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Como $f\left( {1.5} \right)f\left( {1.625} \right) < 0$, entonces la raíz se encuentra en el intervalo $\left[ {1.5,{\rm{ }}1.625} \right]$, como se muestra en la siguiente imagen.
Se continúa el proceso hasta la iteración 10. En la siguiente tabla se muestran las diez iteraciones.
| Iteración | ${a_i}$ | ${b_i}$ | ${p_i} = {{{a_i} + {b_i}} \over 2}$ | $f({a_i})$ | $f({b_i})$ | $f({p_i})$ |
| 1 | 1 | 2 | 1.5 | 2.7182 | -7.6109 | 0.4191 |
| 2 | 1.5 | 2 | 1.75 | 0.4191 | -7.6109 | -2.6243 |
| 3 | 1.5 | 1.75 | 1.625 | 0.4191 | -2.6243 | -0.8944 |
| 4 | 1.5 | 1.625 | 1.5625 | 0.4191 | -0.8944 | -0.1897 |
| 5 | 1.5 | 1.5625 | 1.5312 | 0.4191 | -0.1897 | 0.1262 |
| 6 | 1.5312 | 1.5625 | 1.5468 | 0.1262 | -0.1897 | -0.0288 |
| 7 | 1.5312 | 1.5468 | 1.5390 | 0.1262 | -2.0288 | 0.0494 |
| 8 | 1.5390 | 1.5468 | 1.5429 | 0.0494 | -2.0288 | 0.0104 |
| 9 | 1.5429 | 1.5468 | 1.5449 | 0.0104 | -2.0288 | -0.0091 |
| 10 | 1.5429 | 1.5449 | 1.5439 | 0.0104 | -2.0089 | 0.0006 |
La raíz es aproximadamente 1.5439, como se muestra en la siguiente imagen.
De manera, que el equipo de agrónomos, agricultores y matemáticos tendrán que tomar acciones el mismo día para que la plaga no ocasione daños graves, ya que en aproximadamente 37 horas (1.5439) se duplica la plaga en el cultivo.
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