Movimiento rotacional

A continuación, se le muestra un ejemplo de esquema comparativo sobre la cinemática y dinámica traslacional y la angular.

CONCEPTO	Traslación	Rotación
Desplazamiento	Consiste en la línea recta que une a las posiciones inicial y final. Se mide en metros.   $$x=\ V_0\ t+\ \frac{1}{2}\ a\ t^2$$	Consiste en el ángulo que se cubre entre las posiciones inicial y final. Se mide en radianes. $$\theta=\ \omega_0\ t+\ \frac{1}{2}\ \propto t^2$$
Velocidad	Es el desplazamiento traslacional por unidad de tiempo. Se mide en metros sobre segundo   $V=\ V_0+\ \ a\ t$ $V^2=\ {V_0}^2+2\ a\ x$	Es el desplazamiento angular por unidad de tiempo. Se mide en radianes sobre segundo. $\omega=\ \omega_0+\ \ \propto\ t$ $\omega^2=\ {\omega_0}^2+2\ \propto\ \theta$
Aceleración	Consiste en el cambio de la rapidez traslacional en el tiempo. $$a=\ \frac{\Delta V}{t}$$	Consiste en el cambio de la rapidez rotacional en el tiempo. $$\propto=\ \frac{\Delta\omega}{t}$$
Segunda Ley de Newton	La aceleración traslacional de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta sobre él e inversamente proporcional a su masa. $$\Sigma F=m\ a$$	La aceleración angular de un cuerpo es directamente proporcional al torque neto sobre él e inversamente proporcional a su momento de inercia. $$\Sigma\tau=I\propto$$

A continuación, se le muestra un ejemplo de mapa semántico sobre los temas de torque y equilibrio.

A continuación, se presentan tres ejercicios resueltos, uno sobre el tema de cinemática rotacional, uno de dinámica rotacional y uno de equilibrio estático.

Ejercicio No. 1.  Un abanico rota sus aspas a 9,5 rad/s constantes y, de repente, empieza a moverse aceleradamente por un período de un minuto, después del cual termina con una rapidez de 33 rad/s. Determine cuántas vueltas completó cada aspa en ese lapso de un minuto.

$$\rightarrow\omega=\omega_0+\ \alpha\ t$$

$$\ \alpha\ t=\ \omega-\omega_0$$

$$\alpha=\ \frac{\omega-\omega_0}{t}$$

$$\alpha=\ \frac{33\frac{rad}{s}-\frac{9,5rad}{s}}{60\ s}$$

$$\alpha=0,39\frac{rad}{s^2}$$

$$\rightarrow\theta=\ \omega_0\ t+\ \frac{1}{2}\ \alpha\ t^2$$

$$\theta=\ \left(9,5\frac{rad}{s}\bullet\ 60\ s\right)+\ \left[\frac{1}{2}\bullet0,39\frac{rad}{s^2}\bullet\left(60\ s\right)^2\right]$$

$$\theta=1272\ rad$$

$$\rightarrow\theta=1272\ rad\ x\ \frac{1\ rev}{2\pi\ rad}$$

$$\theta=202,4\ rev$$

Ejercicio No. 2.  Una esfera metálica sólida está ubicada en el tope de una rampa totalmente lisa, tal y como se muestra en la figura adjunta. Si la esfera del reposo y llega a la base de la rampa con una rapidez de 27 rad/s ¿cuánto mide su diámetro?

$$\rightarrow h=3,6\ m\ \bullet tan40°$$

$$h=3,02\ m$$

$$\rightarrow{EM}_1=\ {EM}_2$$

$$U_1+K_1=\ U_2+K_2$$

$$U_1=\ K_2$$

$$U_1=\ K_{2,\ tras}+\ K_{2,\ rot}$$

$$m\ g\ h\ =\ \frac{1}{2}\ m\ V^2+\frac{1}{2}\ I\ \omega^2$$

$$m\ g\ h\ =\ \frac{1}{2}\ m\ V^2+\frac{1}{2}\ \frac{2}{5}\ m\ r^2\ \omega^2$$

$$m\ g\ h\ =\ \frac{1}{2}\ m\ V^2+\frac{1}{5}\ m\ r^2\ \omega^2$$

$$g\ h\ =\ \frac{1}{2}\ \left(\omega\ r\right)^2+\frac{1}{5}\ r^2\ \omega^2$$

$$g\ h\ =\ \frac{1}{2}\ \omega^2\ r^2+\frac{1}{5}\ r^2\ \omega^2$$

$$g\ h\ =\ \frac{7}{10}\ \omega^2\ r^2$$

$$r^2=\ \frac{10\ g\ h}{7\ \omega^2}$$

$$r=\ \sqrt{\frac{10\ g\ h}{\ 7\omega^2}}$$

$$r=\ \sqrt{\frac{10\ \bullet9,8\frac{m}{s^2}\bullet\ 3,02m}{\ 7\bullet\left(27\frac{rad}{s}\right)^2}}$$

$$r=0,24\ m$$

$$\rightarrow\phi=2\ r=0,48\ m$$

Ejercicio No. 3. Un sube y baja consta de un tubo de seis metros de longitud, en cuyos extremos se colocan dos asientos para los usuarios. Uno de estos asientos se ubica a 2,8 m del gozne que permite el giro en el tubo y encima de él se sienta una persona de 48 kg. Determine cuánta masa debe poseer la persona que se siente en el otro extremo para que el tubo quede en posición perfectamente horizontal y qué magnitud poseerá la fuerza de reacción en el apoyo del tubo. Ignore la masa del tubo.

$$\rightarrow\Sigma\tau_R=0$$

$$\left(W_2\bullet3,2\ m\right)-\left(W_1\bullet2,8\ m\right)=0$$

$$\left(m_2\bullet g\bullet3,2\ m\right)-\left(m_1\bullet g\bullet2,8\ m\right)=0$$

$$\left(m_2\bullet9,8\frac{m}{s^2}\bullet3,2\ m\right)-\left(48\ kg\bullet9,8\frac{m}{s^2}\bullet2,8\ m\right)=0$$

$$\left(m_2\bullet31,36\frac{m^2}{s^2}\right)-1317,1\ N\bullet m=0$$

$$m_2\bullet31,36\frac{m^2}{s^2}=1317,1\ N\bullet m$$

$$m_2=\frac{1317,1\ N\bullet m}{31,36\frac{m^2}{s^2}}$$

$$m_2=42\ kg$$

$$\rightarrow\Sigma F_y=0$$

$$R-W_1-W_2=0$$

$$R-m_1\bullet g-m_2\bullet g=0$$

$$R=m_1\bullet g+m_2\bullet g$$

$$R=g\ \left(m_1+m_2\right)$$

$$R=9,8\frac{m}{s^2}\ \left(48\ kg+42\ kg\right)$$

$$R=882\ N$$

Para más ejercicios resueltos, puede consultar el canal en YouTube de la ECEN. Enlace: https://www.youtube.com/channel/UCZWdZ78Ue9fZroLOCrSGz5A/videos